微积分（高等数学）趣味补充习题系列

第1题 (不定积分)

对于正整数 $n$ , 计算整数

\int \frac{x^{n}}{1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!}} d x .

思路分析：
既然本题可解, 那么分母显然可以通过某种形式整体处理, 我们可以考虑换元积分, 分部积分, 但是首先应该先把分母设为一个函数, 把被积函数进行转化.

解答：
使 $f_{n} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!}$ ^[2], 则 $f^{'} (x) = 1 + x + \dots + \frac{x^{(n - 1)}}{(x - 1)!}$ .
题干中的积分变为^[3]

\begin{aligned} I_{n} & = \int \frac{n! (f_{n} (x) - f_{n}^{'} (x))}{f_{n} (x)} d x \\ = n! x - n! \ln f_{n} (x) + C \\ = n! x - n! \ln (1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!}) + C . \end{aligned}

本题来自于《Putnam and Beyond(2rd Ed)》的第544题. ↩︎
本题中出现了 $n$ , 读者应该联想到可以把积分设置为 $I_{n}$ 进行递推解决, 故我们设 $f_{n} (x)$ 而不是 $f (x)$ , 从而我们试图找出 $f_{n - 1} (x)$ 和 $f_{n} (x)$ 的关系, 从而发现 $f_{n - 1} (x) = f_{n}^{'} (x)$ . ↩︎
把整个被积函数都用统一的系统来表示是一个基本思路, 这里把 $x^{n}$ 用 $f_{n - 1} (x)$ 和 $f_{n} (x)$ 来进行了表示. ↩︎